Labor Technische Optik

Optik-Design asphärischer Linsen zur Strahlfokussierung und Beleuchtung

Prof. Dr.-Ing. Peter Ott

Hochschule Heilbronn

 

Asphärische Flächen werden in der Regel durch Optimierung in optischen Systemen eingeführt, [3], [4], Zum Vergleich und auch als Startlösung für die Optimierung selbst sind aber auch Methoden von Interesse, die durch Berechnung der asphärischen Flächen eine vorgegebene Zielfunktion exakt erfüllen. Einige dieser Methoden sollen hier vorgestellt werden, wobei zum Vergleich das Beispiel der Abbildung aus unendlich mit brechenden Flächen gezeigt wird. Einen deteaillierten Überblick ist in [4] und [6] enthalten.

Analytische Lösungen

 

Als einziger Fall für eine brechende Fläche mit rellem Bild ist der Hyperboloid mit  k= -n² bei der Abbildung aus unendlich. Dieser Fall hat allerdings den Nachteil, dass die Durchbiegung der Linse weit vom Optimum entfernt ist. Deshalb und wegen des direkten Rückreflexes von der planen Fläche findet dieser Fall kaum Anwendung. Darüber hinaus ist die Luneburg GRIN-Linse (siehe dazu in [6]) als analytische Lösung bekannt.

 

 

Korrektur der sphärischen Aberration für ausgewählte Strahlen nach Klein [2]

Bei dieser relativ einfach zu implementierenden Methode wird für den Rand- und Zonenstrahl die gleiche optische Weglänge wie für den axialen Strahl gefordert. Neben den Durchstoßpunkten der Strahlen an der gesuchten Fläche sind dann über das Brechungsgesetz auch die Steigungen der Fläche an diesen Punkten bekannt. Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem, das nach den 4 Asphärenkoeffizienten der Fläche aufgelöst werden kann.Für eine Einzellinse kann das oben beschriebenen Verfahren direkt gelöst werden.

Aplanatische Korrektur durch Lösung eines Differentialgleichungssystems nach Wassermann und Wolf [5]

Bei einem aplanatischen System ist für alle Strahlen die sphärische Aberration korrigiert und gleichzeitig die Sinusbedingung erfüllt. Beide Bedingungen lassen sich mit zwei Flächen erfüllen, die einem gekoppelten Differentialgleichungssystem gehorchen. Wassermann hat dieses System für zwei benachbarte Flächen angegeben. Später wurde dies erweitert für zwei beliebige Flächen in einem optischen System [1].

Konzentration und Beleuchtung nahe des theoretischen Limits mit der SMS-Methode nach Minano [6]

Die bisher vorgestellten Methoden haben das Hauptziel, den axialen Bildpunkt scharf abzubilden. Zusätzlich wird dann die Sinusbedingung heran gezogen, um auch für sehr kleine Felder eine scharfe Abbildung herbeizuführen. Bei Beleuchtungssystemen und bei der Konzentration von Strahlung auf eine möglichst kleine Fläche, wie z.B. bei Sonnenkollektoren, sind diese Verfahren jedoch nur beschränkt oder sogar völlig ungeeignet.

Das theoretische Limit bei der Konzentration einer Lichtquelle im Unendlichen ergibt sich aus der Konstanz des Etendue bzw. Lichtleitwerts zu

wobei A' die Detektorfläche, A_EP die Eintrittspupille und  der Feldwinkel der einfallenden Strahlung darstellt. Dieses Limit setzt voraus, dass bildseitig der maximale Aperturwinkel von wie in der nächsten Abbildung unten realisiert wird. Das gleiche Limit ergibt sich umgekehrt, wenn eine Lichtquelle mit lambertscher Abstrahlcharakteristik, z.B. eine LED, vorliegt und die Aufgabe der Kollimation mit minimalem Feldwinkel (d.h. hellestem Fernfeld) bei vorgebener Austrittsöffnung besteht. So ein LED-Kollimator nahezu maximaler Wirkung ist in folgender Abbildung unten dargestellt.

Zur Lösung dieser Aufgabe kann das 'edge ray theorem' herangezogen werden. Eine darauf beruhende analytische Lösung für einen Reflektor ist der compound parabolic concentrator (CPC). Andere Lösungen können mit der SMS-Methode (Simultaneous Multiple Surfaces) gefunden werden. Etwas vereinfacht dargestellt wird dabei gefordert, dass die beiden Feldränder scharf auf den Rand der Detektorfläche abgebildet werden. Objektpunkte innerhalb dieser Ränder und damit auch der axiale Objektpunkt werden unscharf abgebildet, jedoch ist garantiert, dass alle Strahlen innerhalb der Detektorfläche auftreffen.

 

Literatur

      [1] Braat, J.J.M., Greve, P.V., Aplanatic optical system containing two aspheric surfaces, Applied Optics, vol 18, no 13, pp 2187-2191, 1979

      [2] Klein, W., Asphärische Flächen in optischen Systemen zur Korrektion verschiedener Bildfehler, in Jahrbuch für Optik und Feinmechanik, Verlag Schiele & Schön, Berlin, 1992.

      [3] Schuhmann, R., Systematische Untersuchung zur Einführung asphärischer Flächen in optischen Systemen, Diss. FB 4 Physik d. TU Berlin, 1985

      [4] Schulz, G., Aspheric Surfaces, in: Progress in Optics, vol XXV, ed. Wolf, E., North-Holland, Amsterdam, pp 349-415, 1988

      [5] Wasserman, G.D., Wolf, E., On the theory of aplanatic aspheric systems, Proc. Phys. Soc. B, vol 64, pp 2-8, 1949

      [6] Winston, R., Minano, J.C., Benitez, P., Nonimaging Optics, Elsevier Academic Press, London, 2005